viernes, 29 de junio de 2012

Límites

Si f es una función, entonces se dice que
$$\displaystyle\lim_{x \to a}{f(x)=A}$$
si el valor de "f(x) se aproxima arbitrariamente a  A cuando x se aproxima a a"


Por ejemplo,  sea
$$\displaystyle\lim_{x \to 4}{ x^2=16}$$
"x2  se aproxima arbitrariamente a 16 a medida que x se aproxima 4"


$$\lim_{x \to 4}{ x^2=16}$$
se lee: "El límite de x2, cuando x tiende a 4, es igual a 16"

LÍMITES POR LA DERECHA Y POR LA IZQUIERDA

Definición intuitiva de Límite izquierdo.-
$$\lim_{x \to c^{-}}{f(x)=L}$$
Significa que cuando x está cerca de c, pero a la izquierda de c, entonces f(x) está cerca de L


Definición intuitiva de Límite derecho.-
$$\lim_{x \to c^{+}}{f(x)=L}$$
Significa que cuando x está cerca de c, pero a la derecha de c, entonces f(x) está cerca de L


Ejemplo:
Sea el siguiente límite 
$$\lim_{x \to 4}{\frac {x^2-x-12} {x-4}}$$

Tabulando valores cercanos a x=4 por el lado izquierdo y por el lado derecho
podemos observar que f(x) se aproxima a 7
x
3.999991 3.99991 3.9991 3.991 4.001 4.0001 4.00001 4.000001
f(x)
6.999991 6.99991 6.9991 6.991 7.001 7.0001 7.00001 7.000001


Si
$$\lim_{x \to 4^{-}}{\frac {x^2-x-12} {x-4}}=7$$ y $$\lim_{x \to 4^{+}}{\frac {x^2-x-12} {x-4}}=7$$
Entonces $$\lim_{x \to 4}{\frac {x^2-x-12} {x-4}}=7$$


TEOREMA
Para afirmar que el límite de f(x) existe cuando x tiende a c, es necesario y suficiente que los límites laterales sean iguales

$$\lim_{x \to c}{f(x)}=L$$ si y sólo si $$\lim_{x \to c^{-}}{f(x)}= \lim_{x \to c^{+}}{f(x)}=L$$




jueves, 28 de junio de 2012

Fractales

Siempre nos hemos preguntado que aplicación pudiera tener el conocer la raíz de una ecuación o la intersección de una recta tangente a una curva, o el límite de una función que tiende a infinito.


Una excelente aplicación la encontramos en los fractales, los procesos físicos complejos, en la naturaleza, en la economía y algunas otras ciencias son difíciles de reproducir como experimentos, sus costos serían incalculables y posiblemente no podrían desarrollarse en el mundo real.




Científicos como: Gaston Julia, Benoit Mandelbrot, Helge-Von Koch, Waclaw Sierpinski, Menger, Lindermayer, nos han legado las bases científicas para el estudio de los fractales.




¿de qué forma estará codi ficada la información que hace que una semilla prácticamente amorfa llegue a desarrollarse como un árbol o una hierba de gran complejidad estructural?






Los fractales son la respuesta que ha existido desde siempre en la naturaleza, con organismos autosimilares a las partes que lo conforman, es decir la repetición infinita de una forma básica, es posible reproducir esos patrones fractales de gran complejidad y existe una descripción matemática que los puede representar. 


Puedes observar la repetición infinita de una función en el siguiente video, los fractales pueden estar representando tanto cantidades reales como complejas.







Un fractal es el producto final que se origina a través de la repetición infinita de un proceso geométrico bien especificado.


La teoría de los fractales puede también simular procesos de diseño, propagación de enfermedades, reconstrucción de plantas extintas, representación de galaxias, música, vida artificial etc.




Todas las imágenes y videos aquí presentados fueron tomados de la web, son propiedad de sus creadores, solo son utilizados para fines demostrativos

Precursores del Cálculo Integral

ISAAC NEWTON (1642-1727)

Célebre matemático y físico Inglés, ha sido uno de los genios más grandes que han existido. Desarrolló la ciencia del Cálculo Diferencial e Integral bajo el nombre de fluxiones. Aunque Newton descubrió y empleó la nueva ciencia desde 1670, su primera obra publicada que la exhibe está fechada en 1687, teniendo el título "Philosophiae Naturalis Principia Matemática".


 Esta es la obra principal de Newton. De ella dijo Laplace: "siempre permanecerá preminente sobre todas las otras producciones de la mente humana."




GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ (1646-1716) 


Nació en Leipzig Alemania. Estudió política, lógica, física, matemáticas y reflexionaba acerca de la teología. Su gran talento se manifestó con investigaciones originales en varios ramos de la Ciencia y de la Filosofía. Fue el primero que publicó sus descubrimientos de Cálculo Infinitesimal en un breve ensayo que apareció en la revista Acta Eruditurum, de Leipzig, en 1684. 



Se sabe, no obstante, que ya existían manuscritos de Newton sobre las "fluxiones", y algunos historiadores creen que Leibnitz recibió las nuevas ideas de aquellos. Actualmente se cree, que Newton y Leibniz inventaron el Cálculo infinitesimal independientemente el uno del otro. La notación que hoy se usa es la que introdujo Leibniz

 Información tomada de "Cálculo Diferencial e Integral", William Anthony Granville, ed. Limusa; imágenes tomadas de la WEB


Necesitas más información, visita:
http://www.solociencia.com/cientificos/isaac-newton-philosophiae-naturalis-principia-mathematica.htm

http://www.angelfire.com/de/calculus65/leibniz.html

Para elaborar la línea del tiempo solicitada en clase toma en cuenta los siguientes personajes y sus contribuciones, considera agregar imágenes:

J. Kepler
René Descartes
B. Pascal
I. Newton
G. Leibniz
L'Hòpital
Bernoulli
L. Euler
M. Agnesi
J. Lagrange
C. Gauss
A. Cauchy
K. Weierstrass
G. Riemman
J. Gibss
S. Kovalevsky
H. Lebesgue

Recuerda subir tu presentación tienes hasta el sábado 24 de Agosto a las 23:59



Doy la bienvenida a mis alumnos y compañeros Profesores, pongo a su disposición está humilde aportación, como un apoyo al aprendizaje del Cálculo. 
Esperamos sus comentarios e ideas que nos permitan a todos compartir y ampliar nuestros conocimientos acerca de esta materia.