Límites

Si f es una función, entonces se dice que

$$\displaystyle\lim_{x \to a}{f(x)=A}$$

si el valor de "f(x) se aproxima arbitrariamente a  A cuando x se aproxima a a"


Por ejemplo,  sea

$$\displaystyle\lim_{x \to 4}{ x^2=16}$$

"x²  se aproxima arbitrariamente a 16 a medida que x se aproxima 4"

$$\lim_{x \to 4}{ x^2=16}$$

se lee: "El límite de x², cuando x tiende a 4, es igual a 16"

LÍMITES POR LA DERECHA Y POR LA IZQUIERDA

Definición intuitiva de Límite izquierdo.-

$$\lim_{x \to c^{-}}{f(x)=L}$$

Significa que cuando x está cerca de c, pero a la izquierda de c, entonces f(x) está cerca de L


Definición intuitiva de Límite derecho.-

$$\lim_{x \to c^{+}}{f(x)=L}$$

Significa que cuando x está cerca de c, pero a la derecha de c, entonces f(x) está cerca de L


Ejemplo:
Sea el siguiente límite 

$$\lim_{x \to 4}{\frac {x^2-x-12} {x-4}}$$

Tabulando valores cercanos a x=4 por el lado izquierdo y por el lado derecho
podemos observar que f(x) se aproxima a 7

x	3.999991	3.99991	3.9991	3.991	4.001	4.0001	4.00001	4.000001
f(x)	6.999991	6.99991	6.9991	6.991	7.001	7.0001	7.00001	7.000001

Si	$$\lim_{x \to 4^{-}}{\frac {x^2-x-12} {x-4}}=7$$	y	$$\lim_{x \to 4^{+}}{\frac {x^2-x-12} {x-4}}=7$$
	Entonces	$$\lim_{x \to 4}{\frac {x^2-x-12} {x-4}}=7$$

TEOREMA
Para afirmar que el límite de f(x) existe cuando x tiende a c, es necesario y suficiente que los límites laterales sean iguales

$$\lim_{x \to c}{f(x)}=L$$

si y sólo si

$$\lim_{x \to c^{-}}{f(x)}= \lim_{x \to c^{+}}{f(x)}=L$$

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